Series y sucesiones

Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo a una regla dada. Si una sucesión tiene un ultimo termino se le llama sucesión infinita.
Ejemplo:
5,10,15,20,25,30,35,40,45... la sucesión va de 5 en 5.

1,3,5,7,9,11... la sucesión es de números impares.

3,2,5,7,11,17,19... la sucesión es de números primos
.
5,1,5,2,10,3,15,4,20,5,25... es una sucesión alterna, la posición impar corresponde a los números naturales y la posición par a los múltiplos de 5.

1,4,9,16,25,36... es una sucesión de números cuadrados.

SUCESIÓN ARITMÉTICA:
 Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.Una sucesión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por 
$d$.

Fórmula para calcular la diferencia:

Ejemplo: 1,4,7,10,13,16... la regla es: an = 3n-2 

1.3(1)-2=1

2.3(2)-2=4     

3.3(3)-2=7

4.3(4)-2=10

5.3(5)-2=13

SUCESIONES GEOMÉTRICAS:

Cada termino se calcula multiplicando el anterior por un numero fijo. an = 2^n.

Ejemplo: 2,4,8,16,32,64...

a1= 2(1)=2

a2=2(2)=4

a3=2(3)=8

a4=2(4)=16

a5=2(5)=32

a6=2(6)=64

SUCESIONES ESPECIALES:

Se genera a partir de una pauta de puntos en una figura. La formula para calcular el termino es: an= n(n+1)/2

Ejemplo: 1,3,6,10,15...

a1=1(1+1)/2= 2/2=1

a2=2(2+1)/2=6/2=3

a3=3(3+1)/2=12/2=6

a4=4(4+1)/2=20/2=10

a5=5(5+1)/2=30/2=15

NÚMEROS DE FIBONACCI:
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes que el. La formula para obtener el termino es: xn=xn-1+xn-2.
Ejemplo: 0,1,1,2,3,5,8...
xn=xn-1+xn-2
x3=x3-1+x3-2= x3=x2+x1
x3=3
Por lo tanto el siguiente termino es 3.

SERIE:
La serie numérica es una secuencia de números ordenados, llamados términos, entre los cuales hay que descubrir, para completar la serie.
Ejemplo:1+2+3+4+5=15 

Porcentaje

El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por ciento donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

El porcentaje se denota utilizando el símbolo «%», que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. Por ejemplo, 32% se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. También puede ser representado:

32%=32*0.01  eso es igual a 

EJEMPLO:

20% de 560

560          100%

X               20%

  20       =0.2*560 =112

100

Por lo tanto X es igual a 112.

Razones y proporción

Se denomina razón al cociente que es indicado por dos números y que representa la relación entre dos cantidades y una proporción a la igualdad que existe entre dos o más razones.

Ejemplo: si en un salón tenemos 24 niñas y 18 niños lo representamos de la siguiente manera :
24/18 o 24:18 = 4/3 o 24:18

Se lee existe una razón de 4 a 3 o de 4 por cada 3.

24 antecedente/ 18 consecuente

Proporción: Indica mediante una igualdad la comparación entre dos razones.

EJEMPLO: Para comprobarlas se multiplican:
4:3 = 24:18
3 x 24 = 72
4 x 18 = 72

LAS PROPORCIONES SE CLASIFICAN EN: Compuestas y Directas o Inversas
PROPORCIÓN DIRECTA: A mayor cantidad una variable, mayor cantidad la otra.

EJEMPLO:
Un grupo de pintores lleva una cantidad de pintura (15 litros) para 10 cuadros aproximadamente. ¿Cuántos litros de pintura tendrá que llevar si quieren pintar 14 cuadros ?

15/X = 10/14      15 x 7 =105:5
15/X = 5/7

PROPORCIÓN INDIRECTA: A mayor cantidad de una variable menos cantidad de la otra.

EJEMPLO:
Un vehículo toma dos horas y media en recorrer una velocidad promedio de 48 millas por hora. ¿Cuánto tomará a una velocidad de 60 millas por hora en recorrer la misma distancia?

48 millas 2.5 horas
60 millas 2 horas
x        48
2.5     60

PROPORCIONES COMPUESTAS: En los problemas en que se intervienen tres o más variables, se establecen proporciones que se resuelven consecutivamente.Cada variable se relaciona separadamente con la incógnita.

EJEMPLO:
Seis cajas de conserva de 8 tarros cada una valen $72.00 .¿Cuánto valen 10 cajas con 12 tarros cada una?

6 cajas    8 tarros     $72.00
10 cajas  12 tarros        x

72 x 10 = 720
6 : 720 = 120

Maximo comun divisor

El máximo común divisor de dos o más número natural o enteros es el número más grande que les divide. Para descubrir cuáles son los números que les divide existen la forma corta es la que  explicaremos a continuación:


FORMA CORTA:
La descomposición la empezaremos con el número más pequeño divisible del número que analizaremos.
EJEMPLO:
120/2                        60/2
60/2                       30 /2
30/2                       15 /3
15 /3                         5 /5
5  /5                          1
1

2^3*3*5                  2^2*3*5


2^2*3*5 =60

Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o mas números naturales es el menor numero natural que es múltiplo común de todos ellos. Partiendo de dos o mas números y por descomposición en factores primos, expresados como productos de factores primos, su mínimo común múltiplo sera el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo:

14-18  /2                                           2-3-12/2

7-9      /3                                           1-3-6  /2

7-3     /3                                            1-3-3  /2

7-1    /7                                             1-1-1  /3

1       /

                                                  

2*3^2*7= 126                                     2^3*3

Descomposición de un numero en factores primos

Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen los siguientes pasos:
1. Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor numero primo (2,3,5,7...) por el cual dicho numero es sea divisible . El cociente obtenido se coloca debajo del numero propuesto.
2.Se procede como el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.

EJEMPLO:
120  /2
60    /2
30   /2
15   /3
5    /5
1   = 2^3*3*5

80 /2
40 /2
20 /2
10 /2
5  /5
1 = 2^4*5

Divisibilidad

DIVISIBILIDAD DE 2:
Cualquier número divisible entre dos debe terminar en "0,2,4,6,8." Números pares.
EJEMPLO: 20,42,54,66,88...

DIVISIBILIDAD DE 3:
Esto se da cuando la suma de los valores de la cifra da "3" o es un número múltiplo de "3".
EJEMPLO: 36,69,93,123...

DIVISIBILIDAD DE 4:
El número formado por las dos ultimas cifras debe ser múltiplo de "4".
EJEMPLO: 36,44,56,64...

DIVISIBILIDAD DE 5:
Esto se da cuando cualquier número termine en "0 ó 5".
EJEMPLO: 20,35,65,70,80...

DIVISIBILIDAD DE 9:
La suma de sus cifras debe ser múltiplo de "9".
EJEMPLO: 27,45,54,81,90,135...

Leyes de los exponentes

LEY 1: Multiplicación de potencias con bases iguales

Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores.

(am) (an) = a ^m+n

En otras palabras, para multiplicar expresiones ex potenciales de la misma base, se conserva la base común y se suma los exponentes.

EJEMPLOS:
(y^4) (y^2) (y-^1) = y^4+2-1
(3^2) (3^4) = 3^2+4 = 3^6

LEY 2: Potencia 0

Cualquier base que se eleva a la potencia cero, el resultado es 1, o sea, equivale al número 1.

(a^0)= 1

EJEMPLOS:

x^`0 = 1
35^0 = 1
x^0+y^0 = 1+1=2

LEY 3: Potencia negativa

Para cualquier otro número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m :

Un exponente negativo equivale a un reciproco.
Observa que el que es negativo es el exponente, no la base.
Observa que cuando se convierte al reciproco, pierde el exponente negativo y se convierte en exponente positivo.

a-^n = 1/a^n

EJEMPLOS:
x-^2 = 1/x^2
3-^3= 1/3-^3 = 1/27

LEY 4 : Potencia elevada a otra potencia

Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un termino de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias.

(an)^m= a ^nm

Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.

EJEMPLOS:
(Y^7) ^0 = 1
(5^3)^4 = 5^3*4 = 5^12

LEY 5: Producto elevado a una potencia

Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado, es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada.

(ab)^m = a^m b^m

EJEMPLOS:
(xy) ^3 = x^3 y^3
(2x)^5 = 2^5 x^5

LEY 6: División de bases iguales

Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividiendo y la del divisor.

a^m/a^n= a ^m-n

Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.

EJEMPLO:
x^4/x^2 = x ^4-2 = x^2 75/7^2 = 7^5-2 = 7 ^3

LEY 7 : Cociente elevado a una potencia

Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.

(a/b)^m = a^m/ b^m

EJEMPLO:
(y^5/6)^4 = y^20/6^4 = y^20/1296

Jerarquía de las operaciones

El orden en el que se deben realizar las operaciones aritméticas básicas es algo que todos debemos tener claro. Cuando una expresión aritmética involucra sumas, resta, multiplicaciones y/o divisiones el orden en el que debemos realizar las operaciones es:

[paréntesis][multiplicaciones,divisiones][sumas, restas].
Esto significa que primero debemos resolver las operaciones que aparezcan entre paréntesis después las multiplicaciones y divisiones (en el orden que aparezcan) y después las sumas y las restas ( en el orden que aparecen ).

EJEMPLO:
[15-(2-10-2)x[5+(3-2-4)-3+(8-2x3)]
[15(-2-12)x [5+(6-4) -3 + (8-6) ]
[15- (-10 )x [5+ (2) -3+ (2) ]
[15+10 x [5+2-3+2]]
[25 x [9-3]]
[25 x 6]
=150

Leyes de los signos en la multiplicación

Para llevar a cabo las leyes de los signos solo es necesario que sigas la siguiente tabla:
(+) (+) = +

(-) (-) = +

(-) (+) = -

(+) (-) = -


EJEMPLOS:

1.- (-2) (-3) = 6
2.- (-4) (-2) = 8
3.- (-2) (-2) (-2 ) (-2) = 32
4.- (-3) (-2) (-4) (2) = -48

Leyes de los signos

Para reducir términos utilizamos leyes de los signos:
Signos iguales se suman y conservan su mismo signo.
Signos diferentes se restan y conservan el signo de número mayor.

EJEMPLO:
1.- -3-2-6= -11
2.- -4+8-2= 2

Axiomas en la multiplicación

CERRADURA: Para todo a y b en R, ab esta en R y ab es único.

ASOCIATIVA: Para todo a, b y c en R, (ab)c = a(bc).

EXISTENCIA DEL IDÉNTICO: Existe en R un único elemento 1 (1 diferente 0) con la propiedad de que para todo a en R, 1(a).

EXISTENCIA DE LOS INVERSOS: Para cada a en R, excepto 0, existe un elemento 1/a en R tal que (a)1/a = 1 y 1/a(a)=1

CONMUTATIVA: Para todo a y b en R, ab = ba

AXIOMA DISTRIBUTIVO DE LA MULTIPLICACIÓN (ADICIÓN): Para todo a, b y c en R, a(b+c)= ab+ac.

Axiomas

Recta numérica de Números Reales

Siempre entre dos números reales hay otro numero real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta ésta formada por "infinitos" puntos y cada punto representaría un numero real, de ahí que a dicho recta suela llamarse le recta real o eje real.

Conjunto de Números Reales