SISTEMA DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de ecuaciones se debe de hacer simultáneamente. Un sistema de ecuaciones consta de dos o más variables, existen varios métodos para resolverlos.

• Método de reducción.
• Método de sustitución.
• Método de igualación.
• Método gráfico.
• Método de crammel.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método de reducción.

{3x+y=11

{5x -y=13

Los signos para poder reducir los términos deben ser contrarios, para eliminar la literal. Después debes reducir los términos.

3x+y=11

5x-y=13

__________

8x      =24

     X=24/8

     X=3

Cómo te diste cuentas aquí eliminamos "y".

Al tener el valor de "x" o "y" se sustituyen los valores en cualquiera de las ecuaciones "1" o "2".

3x+y=11

3 (3)+y=11

9+y=11

y=11-9

y=2

Ahora ya tenemos ambos valores de las literales, realizaremos una comprobación en ambas ecuaciones.

3x+y=11                                 5x-y=13

3 (3)+2=11                             5(3)-2=13

9+2=11                                   15-2=13

11=11                                         13=13

Resuelve el siguiente sistema de ecuación con el  método de sustitución.

Empieza despejando una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituye la en la otra ecuación.

{3x+y=11

{5x-y=13

Despeja la "y" en la ecuación "1".

3x+y=11

y=11-3x

Sustituye "y" en la ecuación "2".

5x-y=13

5x-(11-3x)=13

5x-11+3x=13

5x+3x=13+11

8x=24

x=24/8

x=3

Sustituye el resultado en la ecuación donde se despejó "y", o en la ecuación "3".

y=11-3 (3)

y=11-9

y=2

 Los resultados fueron los mismos que en el anterior método para resolver un sistema de ecuación.

Resuelve el siguiente sistema de ecuación con el  método de igualación.

Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y posteriormente igualalos.

{3x+y=11

{5x-y=13

En este caso despeja "y" en ambas ecuaciones.

3x+y=11                 5x-y=13

y=11-3x                  -y=13-5x

                                 y=-13+5x

Iguala ambos resultados.

11-3x=-13+5x

-3x-5x=-13-11

-8x=-24

x=-24/-8

x=3

Sustituye el resultado el la ecuación en cualquiera de las dos ecuaciones.

3(3)+y=11

9+y=11

y=11-9

y=2

Cómo podrás ver el resultado sigue siendo el mismo que en los anteriores métodos.

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad en la que intervienen valores desconocidos llamadas incógnitas. Para resolver una ecuación se utiliza el principio general de transposición de términos.
El cual dice si un termino esta sumando o restando, multiplicando o dividiendo pasara al otro lado de la ecuación, haciendo la operación contraria.

EJEMPLO: 4X+10=2X+20
                    4X-2X=20-10
                          2X=10
                            X=10/2
                            X=5

COMPROBACIÓN: 4(5)+10=2(5)+20
                                     20+10=10+20
                                           30=30
Como veras el resultado de la ecuación fue 5 al comprobarlo el resultado nos salio 30 antes del signo igual y 30 después del signo igual. si los resultados de la comprobación no son iguales esto quiere decir que esta mal resuelta tu ecuación.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de polinomios (adición).

Es la expresión algebraica formada por mas de tres términos.
(6x3+2x2+3x+2)+(2x+3x2+6)
Para   poder   resolver  esta operación   debes   ordenar   los términos   de   forma   asendente   o  desendente   segun  su exponente  y  su  literal;  en  este  caso  los ordenaremos de mayor a menor:
    6x3+2x2+3x+2
            3x2+2x+6
= 6x3+5x2+5x+8
Otro ejemplo para que quede más claro pero con algunos números negativos.
  5x2+3x+7
  6x2-3x+3
=11x+10
En este  caso se  elimino  el 3x  positivo  y el  3x negativo por que  siguindo  las  leyes de  los  signos numero  positivo   con numero  positivo  se  suman,  numero  negativo con numero negativo   se  suman  pero  el  signo  queda  igual,  y  numero negativo con numero  positivo se restan y queda el signo del numero mayor.
   2x2+3x-9
  3x2 -7x+5
=5x2-4x-4

Resta de polinomios:

Para resolver esta operación debes ordenar los términos como se hizo en la suma; después para poder empezar a restar debes multiplicar los signos de los términos del segundo paréntesis, por últimos vas a reducir términos. 

(8x4-5x+3+4x2)-(-16x2+3x4+105x+2)

8x4+4x2-5x+3

-3x4+16x2-105x-2

=5x4+20x2-110x+1

(X3+3x2+4x-2)-(-x3-3x2-4x+1)

X3+3x2+4x-2

X3+3x2+4x-1

=2x3+6x2+8x-3

Multiplicación de polinomios:

Se acomodan los términos de forma asendente o desendente conforme al exponente; se multiplican los signos, el coeficiente (número) las literales (recuerda que en la Multiplicación los exponentes se suman).
Ejemplo:
Encuentra el área de la región sombreada de la siguiente figura:

Las medidas del rectángulo pequeño es: 3x+3 de ancho y largo 4x+10. Del rectángulo grande son: largo 3x2-2x-3 y de ancho 2x2-5x-2.
Vamos a comenzar por acomodar los términos en paréntesis o en forma de Multiplicación común.

Área del rectángulo pequeño. 
(3x+3) (4x+10)                                             
=12x2+12x+30x+30
=12x2+42x+30

Área del rectángulo grande.
(3x2-2x-3) (2x2-5x-2)
=6x4-15x3-6x2-4x3+10x2+4x-6x2+15x+6
=6x4-19x3-2x2+19x+6
Al tener las dos áreas lo que haremos es restar al área del rectángulo grande el área del rectángulo pequeño.
6x4-19x3-2x2+19x+6
                -12x2-42x-30
=6x4-19x3-14x2-23x-24

División de polinomios:

Este es un ejemplo de cómo se realiza una división de polinomios:

PRODUCTOS NOTABLES:

Los productos notables son reglas para resolver multiplicaciones de manera directa.

SUMA DEL BINOMIO AL CUADRADO:

(a+b)2=a2+2ab+b2 

Esta regla quiere decir que: el cuadrado de a más el cuadrado b; o eso es igual a el cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado.

Ejemplo: (x+2)2= (x)2+2(x)(2)+(2)2
                               x2+4x+4

RESTA DEL BINOMIO AL CUADRADO:
(a-b)2=a2-2ab+b2
Esta regla quiere decir el cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo término más el segundo término al cuadrado.
Ejemplo: (x-6)= (x)2-2(x)(6)+(6)2
                             x2-12x+36

SUMA DEL BINOMIO AL CUBO:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Esta regla quiere decir primer término al cubo más tres veces el primer término al cuadrado por el segundo término más tres veces el primer término por el segundo término al cuadrado más el segundo término al cubo.
Ejemplo: (5a2+2b3)3= (5a2)3+3(5a2)2(2a3)+3(5a2)(2b3)2+(2b3)3
                                     125a6+150a4b3+60a2b6+5b6

DIFERENCIA DEL BINOMIO AL CUBO:
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
Esta regla quiere decir primer término al cubo menos tres veces el primer término al cuadrado por el segundo término más tres veces el primer término por el segundo término al cuadrado menos el segundo término al cubo.
Ejemplo: (x-y)3=(x)3-3(x)2(y)+3(x)(y)2-(y)3
                             x3-3x2y+3xy2-y3

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
Esta regla quiere decir término común al cuadrado más la suma de a y b por x más a por b
Ejemplo:  (5a+5)(5a+7)=(5a)2+(5+7)5a+(5)(7)
                                          5a2+(12)5a+35
                                           5a2+60a+35


(x+7)(x-3)= x2+(7-3)x+(7)(-3)
                     x2+4x-21

FACTORIZACIÓN:
Factorizar una cantidad significa escribirla como multiplicación de otros factores diferentes de ellos.

Factor común:
Ejemplo: 45x4y3+60x3y2-75x2y
 Primer paso:
45   60     75 l 3
 15   20   25  l 5
   3    4     5   l
      Se multiplicaran el 3 por el 5 eso es igual a 15. Posteriormente tomaremos la literal que aparezca en todos los términos con el exponente más pequeño.
x2y
Después pondremos el numero obtenido con las literales elegidas abriremos paréntesis y pondremos los números que nos quedaron del primer paso, con sus respectivas literales.
45x4y3+60x3y2-75x2y= 15x2y(3x2y2+4xy-5)


Trinomio cuadrado perfecto:
Ejemplo: 4x2-12x+9
 Lo primero que harás es sacar raíz cuadrada al primer término  y raíz cuadrada al ultimo término. Lo separaremos con el signo del segundo término y finalmente los colocaremos en paréntesis elevado al cuadrado.
raíz cuadrada de 4x2= 2x
raíz cuadrado de 9=3
sigo del segundo término= (-)
4x2-12x+9= (2x-3)2

Diferencia del cuadrado:
(a2-b2)=(a+b)(a-b)
Lo que haremos es sacar raíz cuadrada a ambos términos, colocando ambos resultados en paréntesis separando los términos con un signo positivo y en otro paréntesis con ambos resultados separados con un signo negativo.
Ejemplo: 81x4y4-25x2y4= (9x2+5xy2)(9x2-5xy2)

RADICALES

La radicación es el proceso inverso de la potenciación se representa de la siguiente forma:

Para poder resolver una raíz cuadrada debemos dos números iguales que al multiplicarse nos de el numero que se esta radicando por ejemplo:

Para resolver las raíces cúbicas, cuartas, quintas, etcétera se resuelve igual que en la raiz cuadrada pero se multiplica el numero las veces que dice el índice hasta llegar al numero que se esta radicando.

Ejemplo de una raíz cubica:

 PROPIEDADES DE LOS RADICALES:

La raíz de "uno" o de "cero" siempre será uno y cero sin importar el numero que tenga el índice de la radical.

Ley de cancelación de radical.

Esta ley se cumple cuando un numero  esta  elevado al mismo  exponente que tiene la raíz, quedando sólo el numero que se esta radicando.

Ejemplo:

Raíz de una multiplicación (o producto):

Está fórmula nos indica que puedes multiplicar primero los números que se están radicando y luego sacarles la raíz o puedes hecer una multiplicación de raíces esto quiere decir sacar raíz a los números y multiplicar los resultados. Ejemplo: 

Raíz de una división (o cociente).

Está fórmula dice que puedes dividir los números que se encuentran dentro de la radical y al resultado sacarle raíz o puedes hacer una división de raíces esto quiere decir que debes sacar la raíz a los dos números separados y luego dividirlos obteniendo el mismo resultado. Ejemplo:

Raíz de una potencia:

Está fórmula indica que puedes sacar raíz y luego elevar el numero a la potencia que te indique o simplemente divide la potencia entre la raíz como se muestra, si el resultado es el radicante elevado a una potencia exacta, después tendrás que resolverlo obteniendo el resultado. Si el resultado es el radicante elevado a una potencia que no es exacta se queda en forma de fracción. Ejemplo:

Raíz de una Raíz:

Está  fórmula nos indica que puedes sacar la raízque se te indica  y al resultado volver a sacar la raíz que te indica; o puedes multiplicar los índices de las raíces y realizar la operación. Ejemplo:

Raíz de números negativos:

Este tipo de raíces se pueden resolver sólo si el número que esta en el índice es inpar.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Álgebra: Es la rama de las matemáticas que se caracteriza por el empleo de letras para representar números.

 EXPRESIÓN VERBAL:                 EXPRESIÓN ALGEBRAICA:  *Número cualquiera.                                              X
*El doble de un número cualquiera.                   2x
*El triple de un número cualquiera.                   3x
*La mitad de un número cualquiera.                 X/2
*La suma de dos números.                                   X+y
*La diferencia de dos números.                          X-y
*El producto de dos números.                            (X)(y)
*El producto de tres números dismi_
nunidos en cinco unidades.                              (x)(y)(z)-5
*El producto de dos factores iguales.              (X) (X)
*El cociente de dos números.                               x/y 
*El cociente de la suma de dos
números entre otro numero.                             x+y/x
*El cociente de la diferencia de dos
números entre otro número.                             x×y/z
*La suma de dos números dividido
entre su diferencia.                                             x+y/x-y
*El cuadrado de un número aumen_
tado en trece unidades.                                         χ²+13
*El cubo de un número disminuido
en seis unidades.                                                      x3 -6   
*El triple del cuadrado de un número.               3 (x2)
*El doble del cubo de un número.                      2 ( x3 )
*La raíz del producto de dos números.              √xy



EXPRESIÓN ALGEBRAICA:
*En la representación de un símbolo o de una o más operaciones algebraicas, formada por términos algebraicos.
LAS EXPRESIÓNES ALGEBRAICAS SE CLASIFICAN EN:
Monomios, Binomios, Trinomios y Polinomios.

TÉRMINO ALGEBRAICO:
Es la expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por los signos mas (+) o menos (-).
Los términos algebraicos están formados por cuatro partes que son: signo, coeficiente, parte literal y exponente.

TÉRMINO SEMEJANTES:
Son los términos que tienen lasu mismas literales y los mismos exponentes sin importar el signo ni el coeficiente por ejemplo:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Se utilizan para saber como están distribuidos los datos, la más sencilla es el rango y la más utilizada es la desviación típica o estándar.

La dispersión sirve para medir que tan alejados estén los valores. La población o muestra será heterogénea en el caso contrario será homogénea.

Las medidas de dispersión incluyen:

Rango

Varianza

Desviación estandar.

RANGO: Es la medida de dispersión más sencilla y menos utilizada, ya que es la medida poco estable.

Es la diferencia en valor entre las porciones de datos de mayor valor(Máx) y de menor valor (Mín).

         

Rango=Máx-Mín.

VARIANZA: Promedio de los cuadrados de las desviaciones  medidas alrededor de la  media.

Población:

Muestra:

EJEMPLO: Haya la Varianza y la desviación de las siguen es edades: 5,6,6,7,8.
POBLACIÓN:La formula nos dice sigma al cuadrado es igual a la sumatoria de X menos el promedio al cuadrado entre el numero de datos.
Para poder sustituir los valores de la formula primero sacaremos el promedio:
Promedio=32/5=6.4 años
σ²=(5-6.4)²+(6-6.4)²+(6-6.4)²+(7-6.4)²+(8-6.4)²
    -------------------------------------------------------------
                                   5
σ²=1.96+0.16+0.16+0.36+2.56
    ----------------------------------------
                         5
σ²=5.2
    -------
       5
σ²=1.04 años varianza
σ=a 1.04 sácale la raíz cuadrada para obtener la desviación.
σ=1.01 años.

MUESTRA:La formula nos dice muestra es igual a la sumatoria de X menos el promedio al cuadrado entre el numero de datos menos uno.
Usaremos los siguientes datos para después sustituirlos en la formula:
Peso en Kg 52,55,58.

Promedio=165/3 =55Kg

s²=(52-55)²+(55-55)²+(58-55)²

    -------------------------------------

                        2

s²=9+0+9

   ------------

         2

s²=9 Kg Varianza

s= raíz cuadrada de 9

s=3Kg. 

MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS AGRUPADOS.

EJEMPLO:

Haya la media, mediana y moda de las siguientes horas trabajadas.

Horas	x	f	F	xf
55-60	57.5	5	5	287.5
60-65	62.5	18	23	1125
65-70	67.5	20	43	1350
70-75	72.5	50	93	3625
75-80	77.5	17	110	1317.5
80-85	82.5	16	126	1320
85-90	87.5	4	130	350
Total		130		9375

"X" Se calcula sumando las horas y dividiéndolas entre dos.
(55+60)/2=57.5
(60+65)/2=62.5
(65+70)/2=67.5
(70+75)/2=72.5
(75+80)/2=77.5
(80+85)/2=82.5
(85+90)/2=87.5

"f" Es la frecuencia absoluta.

"F" La obtienes sumando la frecuencia absoluta (f), pasando el primer valor como esta.
5+18=23
23+20=43
43+50=93
93+17=110
110+16=126
126+4=130

"xf" La obtendrás multiplicando la marca de clase(x) con la frecuencia absoluta(f).
(57.5)(5)=287.5
(62.5)(18)=1125
(67.5)(20)=1350
(72.5)(50)=3625
(77.5)(17)=1317.5
(82.5)(16)=1320
(87.5)(4)=350
9375 es el resultado de la suma de todos los valores.

Con ayuda de la tabla sera más sencillo calcular la media, mediana y moda.

MEDIA:

La formula nos indica que la media equivale a la sumatoria de xf entre el numero de datos.
La suma de la multiplicación de los valores de x por f da como resultado: 9375, estos se dividirá entre 130.
9375/130=72.11
La media es 72.11 horas.

MEDIANA:

La formula nos indica que la mediana es igual a limite inferior (Li) más la amplitud (a) por el resultado de la resta del numero de datos entre dos (N/2) menos la frecuencia absoluta acumulada (Fi-1) entre la posición que ocupe la mediana en la frecuencia absoluta (fi).
Para saber que posición ocupa la mediana debes dividir el numero de datos entre dos:
130/2=65.
El resultado lo buscaras en los datos de la tabla que se encuentren en la "F", si el valor no esta revisa entre que datos esta el valor y elige el que va después de el. En este caso el valor se encuentra entre 43 y 93 por lo que elegiremos 93. Para calcular la mediana sustituiremos los datos de la formula según la fila previamente elegida.
Li=70
A=5
Fi-1=43
fi=50
N/2=65

Me=70+5(65-43)
              -------------
                    50
Me=70+5(22)
              -------
                50
Me=70+5(.44)
Me=70+2.2
La mediana es igual a 72.2

MODA:

Para desarrollar la formula de la moda tomaremos los datos de la fila que tengan mayor repetición en su frecuencia absoluta (f). La formula nos indica que la moda es igual a la suma del limite inferior (Li) más la amplitud(a) por el resultado de la resta de la frecuencia absoluta (fi) menos el dato anterior de la frecuencia absoluta (fi-1)  entre el resultado de la frecuencia absoluta (fi) menos el dato anterior de la frecuencia absoluta (fi-1) más el resultado de la frecuencia absoluta (fi) menos el dato que sigue de la frecuencia absoluta (fi+1).
En este caso la fila coincidió con la de la mediana por lo que algunos valores serán los mismos:
Li=70
A=5
fi=50
fi-1=20
fi+1=17

Mo=70+5      (50-20)
             ( --------------------)
               (50-20)+(50-17)
 Mo=70+5     (30)
                (-------------)
                  (30)+(33)
Mo=70+5   30
                (-------)
                    63
Mo=70+5(.47)
Mo=70+2.38
La moda es igual a 72.38

¿COMO GRÁFICAR LA MEDIANA?

En un histograma los intervalos de clase o "clases" son sucesivos y no hay huecos entre clases para mostrar la naturaleza continúa de la variable. Cada barra se levanta sobre un intervalo de clase y la altura de la barra señala la frecuencia relevada para la clase. Las barras se dibujan pegadas, y no separadas como en las variables discretas, para indicar que la variable continúa puede asumir cualquiera de los valores comprendidos entre la primera y la ultima clase. Es una gráfica construida a partir de segmentos de linea que unen las marcas de clase de los intervalos de clase de un histograma, si se usan FA o FR, sino se unen los límites superiores de cada clase en el caso de usarse FAA o FRA.

EJEMPLO:

Sacar la media, mediana y moda del promedio de tus calificaciones: 10,10,10,9,10,10,8,10,10.

Media:10+10+10+9+10+10+8+10+10=/9

              87/9=9.66

Mediana:8,9,10,10,10,10,10,10,10.

                  n+1=/2

                  9+1=10

                  10/2=5

La mediana es 10 ya que se encuentra en la quinta posición.

Moda: La moda es "10".

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son instrumentos que toman todos los datos de una muestra concentrándolos en un solo y único valor.

MEDIA.

MEDIANA.

MODA.

MEDIA ARITMÉTICA: Es el promedio de la suma de todos los datos dividido entre el numero de datos. Valores extremos es lo que sube demasiado o bajo el promedio. Se representa con la siguiente formula: 

Se lee como "X barra" o "media de la muestra"; es la suma de valores X y dividiendo entre el número de estos valores, n.

MEDIANA : Es el valor que divide al conjunto de valores en dos partes iguales. Posición de la mediana: (n+1)/2 cuando "n" es impar, la posición de la mediana coincide con el lugar que ocupa uno de los datos. Si "n" es par, se localizará entre los dos datos centrales. La mediana es el valor medio o             media aritmética. 

               

MODA: Es el dato que se repite con mayor frecuencia. Puede existir también multimoda que significa más de una.

EJEMPLO 1: Haya la media, mediana y moda de los siguientes datos. 6,3,8,6,4.

Media: 6+3+8+6+4=/5

              27/5= 5.4

Mediana: Para encontrar la mediana debes ordenar de menor a mayor los datos.

3,4,6,6,8

n+1÷2

5+1=/2

6/2=3

La mediana se encuentra en la tercera posición que es el "6".

Moda: La moda es el numero "6" ya que este se repite dos veces.

EJEMPLO 2: Haya la media, mediana y moda. 6,8,8,10,9,5.

Media:6+8+8+10+9+5=/6

             46/6= 7.6

Mediana: 5,6,8,8,9,10

n+1÷2

6+1=/2 

7/2=3.5

La mediana se encuentra entre los dos ochos por lo que los sumaremos y dividiremos entre dos.

8+8=16

16/2=8

Moda: la moda es "8".

                                                                

TABLA DE FRECUENCIAS CON DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS.

Si tenemos un numero muy grande de datos, estos se agrupan en intervalos, para no tener que realizar tablas muy largas con datos diferentes. También se agrupan en intervalos cuando las variables son continuas.
los datos se agrupan en intervalos, llamados clases.

CLASES: Limites de clase: cada intervalo tiene un limite inferior, que pertenece a ese intervalo (cerrado por la izquierda con un corchete) y un limite superior que no pertenece (abierto por la derecha).

NUMERO DE INTERVALOS:Regla de sturges: 1+3.3 log n (n es el numero de datos).

RANGO: Es la diferencia entre los valores máximos y mínimos de nuestros datos. (Dato mayor menos Dato menor).

AMPLITUD DE FRECUENCIA: Una forma sencilla de determinar los intervalos es dividir el rango de la serie de valores entre el numero de intervalos que se desean establecer.

MARCA DE CLASE: Se obtienen calculando el promedio de los extremos de cada intervalo. m=Xmín +(Xmáx-Xmín)
                                                                      -------------------
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EJEMPLO:
Se encuestan a 10 personas donde se les pregunta su edad y los datos obtenidos fueron: 25,27,30,20,23,27,29,33,40 y 25.
a) Encuentra el numero de intervalos (1+3.3log n)
b) Encuentra el valor del rango.
c) La amplitud de frecuencia.
d) Realiza la tabla de frecuencia.
e) Encuentra la marca de clase.

a)1+3.3 log n(10)=4.3 =4
b)40-20=20
c)20/4=5
d)

EDAD	FRECUENCIA ABSOLUTA	FR	FRA	FRAC	MARCA DE CLASE
[20-25)	2	20%	2	20%	22.5
[25-30)	5	50%	7	70%	27.5
[30-35)	2	20%	9	90%	32.5
[35-40]	1	10%	10	100%	37.5
TOTAL	10	100			120

 e)20+25/2=22.5

   25+30/2=27.5

   30+35/2=32.5

   35+40/2=37.5